수학자의 생각법

 

수학자의 생각법 | 마커스 드 사토이 | 북라이프 - 예스24

 

이 책에 관하여

이 책은 예전에 읽고 싶었지만, 사정이 있어서 읽지 못한 책이었다.

당시에 앞부분을 읽었을 때는 초보자도 쉽게 읽을 수 있게 되어있다 생각했는데, 지금 끝까지 읽어보니 좀 착각이었던 것 같다.

 

이 책은 아래의 주제들에 대한 존재 이유를 다룬다.

• 효율적 계산 방법과 알고리즘
• 실제 효율적 계산 방법
  • 허수와 삼각함수, 오일러 공식
  • 대수학
  • 기하학
  • 다이어그램, 범주론
  • 미적분
  • 통계학
  • 확률론
  • 그래프 이론
  • NP 문제

주제 하나하나가 꽤나 무거운 만큼 진짜 아는 만큼 보이는 책이기 때문에, 실제 수학적 증명보단 "수학의 역사/수학의 실생활 활용"이라는 관점을 담아보려 한다.

• 모든 경우에 수학적 증명과 지름길이 있는 것은 아니다. (끈기와 노력, 근육의 반복이 답인 경우도 많음)
• 다만, 수학적 증명을 찾을 수 있다면, 효율적으로 풀 수 있다.

좀 더 자세한 역사와 저자의 주관적 의견은 책을 통해 확인할 수 있다.

 

 

패턴의 지름길

패턴은 대표적인 지름길이다.

 

이 책은 대표적인 패턴으로, 15% 패턴을 소개한다.

• 15% 패턴
  • 인구 100만의 도시에 비해 200만의 도시의 같은 일을 하는 노동자가 받는 월급은 약 15%정도 증가한다.
  • 인구 100만의 도시에 비해 200만의 도시의 인프라는 2배 하고 15%정도 더 증가한다.
  • 인구 100만의 도시에 비해 200만의 도시의 범죄 발생률은 15%정도 더 증가한다.
  • 이러한 패턴이 유지되는 경향을 말한다.

하지만, 데이터가 어디서 왔는지를 반드시 이해하고 있어야 한다.

단순한 수치만으로 데이터를 유추하는 것은 잘못된 판단을 유도할 수 있다.

 

다음 수식을 생각해보자.

• (N^4 - 6N^3 + 23N^2 - 18N + 24)/24

이 수식은 Moser’s circle problem이라고 불린다.

 

이 수식은 N이 1부터 5까지 다음과 같은 형태를 유지한다.

• 1
• 2
• 4
• 8
• 16

이렇게 보면 다음 값은 32일 것으로 보인다.

하지만, N이 6이면 31이라는 값을 나타낸다.

 

이와 같이, 데이터가 어디에서 왔는지에 대한 깊은 이해가 동반되지 않은, 단지 숫자만 가지고 분석하는 데이터 사이언스는 위험하다.

• 예: 복권에서 패턴 찾기

이러한 깊은 이해를 수학에선 "증명"이라 부르고, 이렇게 찾아낸 패턴을 "알고리즘"이라 부른다.

계산의 지름길 - 허수의 도입

허수는 어떻게 계산의 지름길을 만들었는가?

 

음수 제곱근은 오랜 기간동안 필요가 없었다.

하지만, 라파엘 봄벨리라는 수학자에 의해 개념이 먼저 도입됐다.

• 이 개념을 도입하면, 그동안 풀 수 없다고 여겨졌던 방정식들을 풀 수 있다 주장했다.
• 그동안 "더 이상 풀 수 없었다"고 막혔던 방정식들을 끝까지 풀 수 있게 됨

이 허수의 본격적인 활용은, 허수를 이용해 방정식을 빠르게 풀 수 있을 때부터 시작되었다.

• 방정식을 실수로만 유도해내던 과정을 벗어나, 허수로 빠르게 풀어내는 것
• 그 핵심이 바로 그 유명한 "오일러 공식"이다.
  • 복잡한 삼각함수의 계산을 허수를 이용해 빠르게 풀어내는 것

삼각함수는 정확한 값을 직접 계산하기에 까다로운 영역이었는데, 오일러 공식 덕분에 이 부분이 상당 부분 해소되었다.

 

복잡한 개념을 간단한 개념으로 범주화/추상화하는 것은 복잡한 문제를 풀어내는 데 많은 도움이 된다.

언어의 지름길

• 대수학은 논리로 할 수 있는 수학이다.
• 문제를 다른 언어로 바꿔서 푸는 법
  • 차원을 바꿔보거나
  • 정의역을 바꿔보거나
  • 문제 정의 자체를 바꿔보거나

최대한 간단한 수학적 표현으로 설명하려 했는데, 쉽지 않다.
문제를 바라보는 관점을 바꾼다고 생각해보면 좋다.

기하학의 지름길

세상은 3차원으로 이루어져 있기에, 이를 빠르게 계산하기 위한 기하학 또한 수학이 만든 지름길 중 하나이다.

• 에라토스트네스의 지구 둘레 계산법
  • 삼각법

특히 자주 접하게 되는 요소는, "곡면에서의 최단거리"이다.

• 지구는 둥글다.
• 중력은 시공간을 휘게 만든다.

다이어그램의 지름길

허수를 주류 수학계로 끌어들인 건, 가우스의 복소좌표계였다.

• 어려운 개념을 그림으로 표현할 때 가장 강력하게 전달할 수 있다.

그림으로 복잡한 개념을 간단하게 범주화할 때, 문제를 단순하게 풀 수 있는 아이디어를 얻을 수 있다.

• 패턴을 표현하기에 용이한 구조

어떻게 표현하느냐에 따라, 강조하고 싶은 부분을 강조하는 것 또한 가능하다.

그대신, 그만큼 조작에 취약하다.

그래서, 이 다이어그램의 의도가 무엇인지를 파악하고, 적절한 다이어그램을 사용하는 능력이 중요하다.

미적분의 지름길

뉴턴과 라이프니츠의 미적분은 조금 다르다.

• 뉴턴
  • 실제 측정에 기반한 접근
  • 사과가 떨어지는 속도의 "변화" 측정
• 라이프니츠
  • 미분의 개념적/철학적 접근
    • 일반화에 집중한 접근
  • 우리가 사용하는 미분 기호 또한 라이프니츠의 표현법

둘 사이에 여러 이야기가 있었지만, 결국 둘 다 쓰인다.

• 변화율/변화량에 대한 정보가 필요하다면, 미적분을 생각해보자.

데이터의 지름길

어떻게 하면 빠르게 유의미한 데이터를 확보할 수 있을까?

통계와 표본, 분산, 표준편차에 대한 학습이 이에 대한 답을 알려준다.

 

전수조사는 현실적으로 불가능하다.

따라서 확률적으로, "유의미한 만큼의 표본"을 확보해 조사하는 것이 가장 효율적일 것이다

 

이를 보조하는 도구가 p-value이다.

• 실제로 이 결론이 순수하게 "우연히" 이렇게 나왔을 확률
• 일반적으로 5% 이하를 기준으로 삼는다.

그래서, "얼마만큼의 표본"을 봐야 할까?

직접 계산해서 구하면 좋겠지만, 실생활에서 빠르게 판단하긴 어려울 수 있다.

 

37%의 법칙을 기억하자.

• N개의 상자 중 최대 상금이 든 상자 1개를 선택하는 방법
• N/e개를 열어봐야 한다는 것이 수학적으로 증명되었다.
  • 즉, N 개 중 1/e개를 열어봐야 한다.
  • 여기서 1/e 는 대략 0.37정도의 값이다.

확률의 지름길

생일 문제

• 23명의 생일이 모두 다를 확률은 몇퍼센트일까?
  • 단순하게 생각하면, 365일 중 23명이 배분되는 것이니, 50%는 훌쩍 넘을 것 같다.
  • 실제로 계산해보면, 364/365 * 363/365 * ... * 343/365이다.
  • 이 값은 0.4927이 나온다.
    • 즉, 50%를 못넘긴다.

몬티 홀 문제

당신이 한 게임 쇼에서 3개의 문 중에 하나를 고를 수 있는 상황이라고 가정하자. 한 문 뒤에는 자동차가, 다른 두 문 뒤에는 염소가 있다. 당신이 1번 문을 고르자, 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 사회자는 3번 문을 열어서 염소를 보여줬다. 그리고는 "2번 문으로 바꾸시겠습니까?"라고 물었다. 이 상황에서, 당신의 선택을 바꾸는 게 유리할까?

 

이러한 문제는 조건부 확률에 대한 이해가 확실히 되어 있어야, 제대로 확률을 계산할 수 있다.

• 독립사건과 종속사건
• 조건부 확률

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이후에도 네트워크(그래프 이론)문제와 NP문제(TSP), 그리고 그 해결방법 중 하나인 DP에 대한 언급이 등장한다.

수학이 추구하는 방향 관점에서, 다양한 개념과 그 목적을 이해하기 좋은 책이다.

 

글의 저자가 수학자라 그런지, 수학에 대한 절대적인 신봉(?)과 확신이 들어 있다. (수학자로서의 자부심 느껴졌다.)

개인적으로는 수학의 가장 강력한 능력은 알고리즘과 영향범위 파악이라고 생각한다.

• 이게 정말 효율적인가? 어느정도로 효율적인가?
• 정말 이래도 문제가 없나? 이 행동의 영향이 어디까지 끼칠 수 있는가? 어디까지가 내 책임인가?

수학에 대해 필요성을 잘 못느끼는 분들에게 추천할 수 있을 것 같다.